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    简介:

    [第1课] 矩阵简介

    矩阵简介

    [第2课] 矩阵乘法(一)

    矩阵乘法(一)

    [第3课] 矩阵乘法(二)

    矩阵乘法(二)

    [第4课] 矩阵的逆(一)

    矩阵的逆(一)

    [第5课] 矩阵的逆(二)

    矩阵的逆(二)

    [第6课] 矩阵的逆(三)

    矩阵的逆(三)

    [第7课] 矩阵法求解方程组

    矩阵法求解方程组

    [第8课] 矩阵法求向量组合

    矩阵法求向量组合

    [第9课] 奇异矩阵

    奇异矩阵

    [第10课] 三元线性方程

    三元线性方程

    [第11课] 求解三元方程组

    求解三元方程组

    [第12课] 向量简介

    向量简介

    [第13课] 向量范例

    向量范例

    [第14课] 直线的参数表示

    直线的参数表示

    [第15课] 线性组合和向量张成的空间

    线性组合和向量张成的空间

    [第16课] 关于线性无关

    关于线性无关

    [第17课] 线性无关的进一步介绍

    线性无关的进一步介绍

    [第18课] 线性无关的相关例题

    线性无关的相关例题

    [第19课] 线性子空间

    线性子空间

    [第20课] 线性代数——子空间的基

    线性代数——子空间的基

    [第21课] 向量的点积和模长

    向量的点积和模长

    [第22课] 向量点积的性质及证明

    向量点积的性质及证明

    [第23课] 不等式的证明

    不等式的证明

    [第24课] 三角不等式

    三角不等式

    [第25课] 向量夹角的定义

    向量夹角的定义

    [第26课] R3中由点与法向量定义的平面

    R3中由点与法向量定义的平面

    [第27课] 外积

    外积

    [第28课] 外积与夹角正弦值的关系

    外积与夹角正弦值的关系

    [第29课] 点积与外积的比较

    点积与外积的比较

    [第30课] 矩阵行简化阶梯型1

    矩阵行简化阶梯型1

    [第31课] 矩阵行简化阶梯型2

    矩阵行简化阶梯型2

    [第32课] 矩阵行简化阶梯型3

    矩阵行简化阶梯型3

    [第33课] 矩阵向量积

    讲解矩阵与向量的乘法定义

    [第34课] 零空间1-矩阵零空间介绍

    矩阵的零空间的定义与性质

    [第35课] 零空间2-矩阵零空间计算

    矩阵的零空间的计算

    [第36课] 零空间3-零空间与线性无关的关系

    零空间与线性无关间的关系

    [第37课] 矩阵的列空间

    讲解矩阵的零空间的定义与性质

    [第38课] 零空间与列空间

    零空间与列空间

    [第39课] 把列空间想象成三维空间上的平面

    通过求出两个列向量的叉乘积求出平面的方程

    [第40课] 证明任意子空间基底数目相同

    通过反证法替换基底向量中的元素来推导出矛盾,得出所有子空间基底必相等。

    [第41课] 零空间的维数或零度

    求一个矩阵的零度的方法是将该矩阵化成阶梯型A,求Ax=0自由变量的个数即是零度。

    [第42课] 列空间的维数或秩

    通过把一个矩阵化成阶梯型,进而求出不相关主列的个数即秩

    [第43课] 基底列和主列的关系

    通过证明Rx=0和Ax=0中零空间的一致性,推出基底列和主列的关系。

    [第44课] 证明候选基底确实张成C(A)空间

    从五个向量中选取了三个向量,证明了其符合张成C(A)空间的两个条件。

    [第45课] 函数的深入理解

    更加深入地探讨函数概念。

    [第46课] 向量变换

    将函数的定义域范围从数字推广到了向量,用T代替f,、。

    [第47课] 线性变换

    介绍了变换中一类特殊的变换----线性变换满足的两个条件。

    [第48课] 矩阵向量乘法与线性变换

    本节讲述矩阵向量乘法和线性变换之间的关系。

    [第49课] 线性变换的矩阵向量乘积表示

    介绍如何将一个线性变换表示成向量与矩阵乘积的形式。

    [第50课] 子集在线性变换下的像

    通过线性变换将R2中的三角形映到R2中的另一个三角形

    [第51课] 变换的像空间im(T)

    本节视频讲述子空间的变换 以及变换的像空间的概念。

    [第52课] 集合的原像

    介绍值域的子集合关于某个变换的原像的概念

    [第53课] 原像和核的相关例子

    线性变换中关于原像和核的定义及相关例题

    [第54课] 线性变换的加法运算和数乘运算

    介绍线性变换的加法运算规则和数乘运算规则。

    [第55课] 矩阵加法和标量乘法详细论述

    详细介绍矩阵加法和标量乘法。

    [第56课] 线性变换的例子——放缩和映射

    构造一种变换使得一个三角形翻转并在y方向上伸长。

    [第57课] 在R2空间下利用2阶矩阵表示旋转变换

    线性变换的实例。

    [第58课] 在R3空间内做旋转

    对R2中做旋转变换的扩展

    [第59课] 单位向量

    介绍了单位向量的概念,以及构造与给定向量同向的单位向量的方法。

    [第60课] 投影介绍

    本集介绍了向量到直线投影的定义、几何含义及求法。

    [第61课] 投影到直线的矩阵向量积表示

    详细计算了投影到直线的情况。

    [第62课] 线性变换的复合1

    介绍了两种线性变换及其复合变换。

    [第63课] 线性变换的复合2

    验证复合变换的变换矩阵等于两个线性变换对应的变换矩阵的乘积。

    [第64课] 矩阵乘积范例

    举例来说明矩阵乘积问题,并从变换角度来看矩阵乘积问题。

    [第65课] 矩阵乘法结合律

    利用线性变换证明两个或两个以上矩阵乘法满足结合律。

    [第66课] 矩阵乘法分配律

    考察矩阵乘法的又一个性质。

    [第67课] 逆函数介绍

    介绍了逆函数的概念并证明了其性质。

    [第68课] 可逆性和f(x)=y解唯一性等价的证明

    利用函数可逆性的定义从两个方向相互证明一个函数f的可逆性和f(x)=y解的唯一性是等价的这一命题。

    [第69课] 满射函数和单射函数

    介绍满射函数和单射函数是如何定义的

    [第70课] 映上和一对一和可逆性的联系

    证明一个函数是可逆的当且仅当它是一个映上的而且是一对一的函数。

    [第71课] 一个变换是映上的判别方法

    通过这个变换的对应矩阵的维数可以判断变换是否是满射

    [第72课] 求Ax=b的解集

    通过线性变换求解Ax=b的解集。

    [第73课] 矩阵进行1-1变换的条件

    介绍并论证矩阵在1-1映射下进行变换的条件。

    [第74课] 关于可逆性的简化条件

    某变换可逆的两个满足条件,以及条件所隐含的几何意义。

    [第75课] 证明逆矩阵是线性变换

    利用线性变换满足的两个条件:T(a+b)=T(a)+T(b) 和 T(ca)=cT(a) (a和b都是同一集合中的向量)来证明逆矩阵是线性变换。

    [第76课] 寻求逆矩阵的求得方法

    根据逆矩阵本身的定义:从值域到定义域的映射,利用增广矩阵及行变换来求出一个矩阵的逆矩阵。

    [第77课] 求逆矩阵举例

    通过上一课得到的方法,实际运用试求逆矩阵。

    [第78课] 2×2矩阵的逆矩阵一般形式

    通过前两课学习的方法,用2×2矩阵的一般形式推导2×2矩阵的逆矩阵的一般形式以及2×2矩阵行列式的求法。

    [第79课] 3×3矩阵的行列式

    基于上一节课所学的2×2矩阵的行列式求法,寻求3×3矩阵行列式的求法。

    [第80课] n×n矩阵的行列式

    本课介绍了递归的思想,通过递归定义以及前两课提及的最基本的2×2矩阵行列式的求法,推广出n×n矩阵一般形式的行列式求法。

    [第81课] 沿其他行或列求矩阵行列式

    上节课介绍了求矩阵行列式的基本方法,我们举的例子是沿着第一行算。这节课我们探索其它求矩阵行列式的方法,不仅仅是可以沿着第一行,而是能够任意挑选一行或一列,以达到简化运算的目的。

    [第82课] 萨吕法则

    利用增广矩阵简单记忆求行列式公式。

    [第83课] 当矩阵一行乘以系数时的行列式运算

    探寻当矩阵的其中一行乘以一个系数k时行列式与原行列式的关系:即为原行列式的k倍。

    [第84课] 关于行乘系数行列式的一点修正

    对于上节课标记错误的一点修正。

    [第85课] 当行相加时矩阵行列式的规律

    当有三个矩阵X Y Z,出了某特定第i行以外全部相等,而Z的第i行为X和Y的第i行相加得到时,三个矩阵的行列式有如下规律:det(Z)=det(X)+det(Y)86.

    [第86课] 有相同行的行列式

    矩阵有重复的行或列,行列式为0。

    [第87课] 行变换后的行列式

    进行行变换不改变矩阵的行列式。

    [第88课] 上三角阵行列式

    上三角矩阵行列式的求解。

    [第89课] 4×4行列式的简化

    一个4×4矩阵化简成上三角矩阵,并求解行列式。

    [第90课] 行列式与平行四边形面积

    求解由两个向量构造的平行四边形的面积。

    [第91课] 行列式作为面积因子

    一个区域在线性变换下映射到另一个区域,这两个区域的面积比就是变换矩阵的行列式的绝对值。

    [第92课] 矩阵的转置

    求解矩阵的转置矩阵。

    [第93课] 转置的行列式

    方阵进行转置,行列式不变。

    [第94课] 矩阵乘积的转置

    矩阵乘积的转置等于矩阵调换顺序之后分别做转置的乘积。

    [第95课] 转置矩阵的加法与求逆运算

    转置矩阵加法与求逆过程的运算一般性质。

    [第96课] 求向量的转置

    向量转置的基本运算及重要性质。

    [第97课] 行空间和左零空间

    通过例子讲解行空间与左零空间的定义。

    [第98课] 左零空间和行空间的可视化

    由一个在R3中的例子而直观地看出左零空间和行空间。

    播放中

    [第99课]正交补

    讲解一般情形下的子空间V的正交补的定义性质及计算方法。

    [第100课] 矩阵A的秩等于A转置的秩

    通过计算A与A的转置的的列空间的基向量的个数而证明出矩阵A的秩等于A的转置的秩。

    [第101课] dim(V)+dim(V正交补)=n

    通过计算子空间V的列空间的维数和左零空间的维数而证明出V的维数与V的正交补空间的维数的和等于n

    [第102课] 用子空间中的向量表示Rn中的向量

    找出子空间V的列空间的一组基和V的左零空间的一组基 并证明出它们合起来就是Rn的一组基

    [第103课] 正交补空间的正交补空间

    研究一个子空间与其正交补空间的正交补空间的关系并证明

    [第104课] 零空间的正交补

    给出零空间的正交补并证明

    [第105课] 方程Ax=b的行空间中的解

    求方程Ax=b在行空间中的唯一解并证明其唯一性

    [第106课] 方程Ax=b在行空间中的解的例子

    用几何方法从图像上讨论方程Ax=b在行空间中的解

    [第107课] 证明(A转置)A是可逆的

    证明A'A可逆

    [第108课] 子空间上的投影

    介绍子空间上投影的概念并用投影的方法计算方程的解

    [第109课] 平面上投影的可视化

    将子空间上投影的定义应用于平面并从几何上来描述

    [第110课] 子空间上的投影是线性变换

    证明子空间上的投影本质上是一个线性变换

    [第111课] 子空间投影矩阵的例子

    R4中关于子空间投影矩阵的例子

    [第112课] 关于投影的矩阵的另一个例子

    求投影矩阵的一种简单方法

    [第113课] 投影是子空间中距离原向量最近的向量

    证明一个向量在子空间中的投影是该子空间的所有向量中距离原向量最近的向量

    [第114课] 最小二乘逼近

    介绍最方程Ax=b小二乘解的定义及几何意义

    [第115课] 有关最小二乘的例子

    利用最小二乘原理求到三条直线交点距离之和最小的点

    [第116课] 另一个有关最小二乘的例子

    利用最小二乘原理求过平面上四个点的直线的最佳逼近

    [第117课] 向量在一组基下的坐标

    定义一个向量在给定的一组基下的坐标

    [第118课] 基变换的矩阵

    利用基的变换矩阵求一个向量在一组基下的坐标

    [第119课] 可逆基向量矩阵变换

    在基向量的变换矩阵是可逆的条件下,一个向量在标准基下的坐标可以与它在其他基下的坐标相互转换

    [第120课] 对应一个基底的变换矩阵

    当把标准基底变成一个随意选取的基底时,线性变换矩阵也随之变换且和原来的矩阵有一定关系

    [第121课] 一个替补基底变换矩阵的例子(1)

    本节视频是用一个具体的例子验证上节视频结论是否成立

    [第122课] 一个替补基底变换矩阵的例子(2)

    本节视频是延续上一讲,用一个具体例子证明了所得结论是成立的,并且指出了选取恰当基底的重要性

    [第123课] 改变坐标系有助于求出变换

    本节视频从一个具体的变换(反射变换)出发,通过改变基底向量,使得求解变换矩阵A变得更简单。

    [第124课] 标准正交基简介

    本节引出了一类特殊的基底---标准正交基,并证明了它两个基本性质

    [第125课] 标准正交基下的坐标

    本节介绍了标准正交基下求解坐标方法的特殊性和简洁性,并用一个具体的例子验证了这个结论。

    [第126课] 正交基下到子空间的投影

    利用正交基做向量到子空间上的投影

    [第127课] 计算正交基下到子空间的投影矩阵

    使用正交基计算向量到子空间上的投影矩阵

    [第128课] 计算镜像变换矩阵

    用改变基底的方式来计算镜像变换的矩阵

    [第129课] 正交矩阵的保角性和保长性

    正交矩阵具有保角和保长度的性质

    [第130课] Schmidt过程

    通过空间的一组非标准正交基获得一组标准正交基的常见作法

    [第131课] Gram-Schmidt过程的例子

    通过一个求平面上的一组标准正交基的例子掌握Gram-Schmidt过程

    [第132课] Gram-Schmidt过程的另一个例子

    再次用Gram-Schmidt过程求解一组标准正交基

    [第133课] 特征向量和特征值的引入

    通过几何直观引入特征值和特征向量的概念并简介它的主要用途

    [第134课] 特征值公式的证明

    证明求解特征值问题转化为求解行列式等于0下的λ这一等价命题

    [第135课] 求解一个2×2矩阵的特征值的一个例子

    求解一个2×2矩阵的特征值:通过求解2×2矩阵的特征值获得求解一般方阵的特征值的方法

    [第136课] 求解特征向量和特征空间

    根据特征值,特征向量,特征空间的定义计算一个矩阵的特征向量及它的特征空间

    [第137课] 求解3×3矩阵的特征值

    用特征多项式求解方程确定3×3矩阵的特征值

    [第138课] 求解3×3矩阵的特征向量和特征空间

    根据特征值,特征向量,特征空间的定义计算一个3×3矩阵的特征向量及它的特征空间

    [第139课] 说明特征基有利于构造合适的坐标

    通过求变换矩阵的特征向量获得一组基从而构建很好的坐标系

    [第140课] 向量的三重积展开

    将三个向量a b c的外积a×b×c展开成用内积表示的形式

    [第141课] 由平面方程求法向量

    介绍在已知具体的平面方程的情况下如何求出该平面的法向量

    [第142课] 点到平面的距离

    推到点到平面的距离公式并进行应用

    [第143课] 平面之间的距离

    求两个相互平行的平面之间的距离

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