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3.7 曲线积分与路径无关的条件(上)
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      高阶数学分析及其应用
      • 学校:中央财经大学
      • 集数:80
      • 课程简介: 在这门课中,我们将学习掌握四块内容:傅里叶级数、含参积分、曲线积分与曲面积分。 1807 年,法国数学家傅里叶在求解热传导方程时发现,解函数可以由三角函数构成的级数形式表示,从而提出,函数可以展开成三角函数的无穷级数,这就是傅里叶级数。傅里叶级数在声学、光学、热力学、电气工程和量化分析等学科领域有非常广泛的应用,因为要研究周期性的运动就必须使用傅里叶级数。这部分内容是本课程的第一章。如果积分中带有了可以变化的参量,就成了含参量积分,其本质是一个函数,如何分析这类函数随着参量变化而变化的性质呢?这是课程第二章的内容。其中一类含参积分——欧拉积分,可极大简便积分运算,被大量运用于概率论与数理统计及分数阶微积分中。欧氏几何解决了平直、规则几何形体的面积和体积计算问题。但是,随着科技的发展,人们发现世界万物几乎没有平直的。人们不得不去处理曲边的平面图形、曲顶的立体,如圆、如球。那么,数学家们是如何克难的呢?以直代曲!也就是通过分割和近似等手段,把弯曲的微元用平直的替代。定积分如是,重积分亦如是,甚至还直接把积分定义到曲线和曲面上,建立曲线积分和曲面积分理论。到 20 世纪初,格拉斯曼,庞加莱和嘉当等人发展了外微分形式语言,把微分和积分这一对矛盾统一在斯托克斯型公式中,牛顿和莱布尼兹的微积分基本公式达到了空前的统一,近代数学在此基础上繁荣发展起来。这是课程第三章和第四章的内容。 《高阶数学分析及其应用》正是学习这些数学分析系列课程中相较复杂艰深,却有更多应用与理论实践的知识。 课程旨在培养学生严格的逻辑思维,让学生学习到优秀的数学思想,从而提高学生的理性思维素养,加强基础知识、基本理论、基本技能训练及培养学生独立思考能力。
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