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    简介:
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    [第1课]全序集和偏序集

    这一讲首先介绍了全序的概念[0:00:49],并介绍了全序关系所需要满足的四个条件,举出了相应的几个例子。之后介绍了偏序的概念[0:13:37],介绍了偏序定义,以及它和全序之间定义的异同,并举出了相应的几个例子。最后一部分举例讲解了哈斯图[0:29:44],哈斯图是有限元素数量时,表示偏序关系的一种很有效的方式。

    [第2课] 完备度量空间

    这一讲首先复习了完备度量空间的概念,完备度量空间是指每个柯西序列都收敛的度量空间[0:00:51],并讨论了可完备度量化空间的概念。第二部分内容是关于贝尔纲定理[0:18:33],贝尔纲定理的一种常用形式是:一个完备度量空间的稠密开子集序列的交集仍然是稠密的。之后为了证明一个相关引理,课上回顾了区间套定理[0:26:17]。最后以一个贝尔纲定理的相关例子结束了这一讲的讨论[0:36:14]。

    [第3课] 度量和拓扑空间复习

    这一讲是通过往年考卷,对度量和拓扑空间部分知识的复习。课上讲的第一个题是关于使用子空间度量后,度量空间的子空间的完备性问题。之后讲解了使用函数生成伪度量。再之后继续探讨第一个题目中的另一个问题,关于子空间的序列紧致性。最后讲的一个题目是:给出一个开区间(-1,1)上度量d'的例子,要求d'等价于(-1,1)上的通常度量,使得R使用其通常度量,等距于使用新度量d'的(-1,1)。

    [第4课] 完备度量空间II

    这一讲首先对第二讲的内容进行了复习,之后对闭球套相关的引理1.4进行证明,之后详细介绍了稠密的定义,并在前面内容的基础之上,对定理1.5——贝尔纲定理(一个完备度量空间的稠密开子集序列的交集仍然是稠密的)进行了证明,之后讲到了无理数集的例子。最后一部分讲解了贝尔纲定理及相关诸推论的一些注意事项。

    [第5课] 完备度量空间III

    这一讲继续考虑完备度量空间,并首先对之前的内容进行了复习。之后为证明推论1.7给出了孤立点的定义。之后通过反证法,用贝尔纲定理证明了推论1.7(设(X,d)为完备度量空间使得X是可数无限的,那么X必然有无限多个孤立点)。之后讨论了贝尔纲定理其它形式。为此,课上介绍了无处稠密集的定义,并给出了1.9和1.10两个贝尔纲定理的推论。

    [第6课] 无限乘积和吉洪诺夫定理

    这是第5讲利用剩下的十分钟时间对无限乘积和吉洪诺夫定理进行的简单介绍。在引入无限乘积的讨论之前,课上先讲了有限乘积的情况,顺便对度量和拓扑空间内容进行了复习[0:01:00]。在定义中描述了拓扑基、坐标投影等等。

    [第7课] 讨论课

    这一堂课是偏序集及选择公理、佐恩引理的讨论课,主要是老师和学生之间的问答和互动。了解佐恩引理及如何应用是重点,这将在未来的证明中经常出现。课上介绍了佐恩引理、选择公理、豪斯多夫极大定理之间的等价关系,并介绍了选择公理存在的一些问题。

    [第8课] 讨论课II

    之前因为线路出现问题,所以重新录像。这里仍然延续了之前的问题。首先讲解选择公理的一种表述,即对任意集族,可从该集族中的每一非空集合中“选择”一个元素。介绍了选择函数这一概念。之后讲到一个例子,关于在自然数集中明确定义一个选择函数,并将此推广到了任意可数集的情况。之后讲到了选择公理和良序原则、吉洪诺夫定理等之间的关系,以及存选择公理在的一些问题。最后给出了一个练习。

    [第9课] 无限乘积和吉洪诺夫定理II

    这一堂课首先对第5讲中讨论的内容进行了复习,并进一步讲解了有限乘积空间方面的内容。之后开始转到无限乘积空间的讨论[0:10:40],首先通过一个定义,讨论了指标集和序列的函数本质,并给出了例子。之后介绍了无限乘积时的坐标投影、积拓扑及基等方面的内容,以及各种要注意的问题。之后引入吉洪诺夫定理(任意个紧致空间的乘积空间对于乘积拓扑是紧致的),并介绍了有限交集性质。

    [第10课] 吉洪诺夫定理证明

    这一堂课是对吉洪诺夫定理的证明,该证明被教授誉为这门课中最难的证明。吉洪诺夫定理是说:任意个紧致空间的乘积空间对于乘积拓扑是紧致的。这一堂课首先复习了上一堂课的内容。之后考虑了FIP集族(子集所组成的具有有限交集性质的集族)和超滤子(极大FIP集族)的概念,并介绍了一个超滤子的相关性质。之后使用佐恩引理证明了每个FIP集族都是超滤子的子集。最后开始证明吉洪诺夫定理。

    [第11课] 无限乘积和吉洪诺夫定理III

    这一堂课继续上一讲对吉洪诺夫定理进行证明,并结束了无限乘积和吉洪诺夫定理这一节。首先课上对第08讲的证明进行了回顾。之后接着之前的证明,引入乘积空间的性质进行证明,再然后引入了积拓扑的定义,最后完成证明并进行了相关评述。

    [第12课] 赋范空间和巴拿赫空间

    这是第09讲的后半部分,利用剩余的10分钟时间,对赋范空间和巴拿赫空间这一节进行了简单介绍,并以此拉开了第三章的序幕。这一讲介绍了范数的定义,并对范数的性质进行了相关评述。最后给出了一些范数的例子。

    [第13课] 赋范空间和巴拿赫空间IV

    本章介绍继续赋范空间和巴拿赫空间。

    [第14课] 范数等价性

    本章介绍了范数等价性。

    [第15课] 范数等价性Ⅱ

    这一讲继续讨论范数等价性的内容。回顾了上一讲关于定理3.8的预备讨论。

    [第16课] 范数等价性III

    这一讲继续讨论范数等价性的内容。首先课上证明了定理3.8,即有限维向量空间的所有范数都是相互等价的,而且这些范数都是完备的:第一步证明了有限维向量空间使用2范数是巴拿赫空间;第二步证明了有限维向量空间上的其它任何范数等价于2范数。由于推论3.9已经讨论过,后半部分课程证明了定理3.10,即巴拿赫空间不可能是可数无限维的。

    [第17课] 范数等价性IV

    这一段十分钟视频是范数等价性的最后一小部分,是对范数等价性这一节的复习和答疑。课上主要是证明了一个练习:赋范空间的线性子空间,只要具有非空内部,那它必然是整个空间

    [第18课] 线性映射

    线性映射又叫线性算子,是在两个向量空间之间保持向量加法和标量乘法运算的映射。这一段视频开始讨论线性映射及其连续性。课上首先介绍了线性映射连续性的一些等价命题,介绍了连续线性映射又叫有界线性映射[0:00:51]。之后介绍了两个赋范空间之间所有线性映射所组成的集合,以及所有有界(亦即连续)映射所组成的集合[0:10:44],并引入了对偶空间、线性泛函等概念[0:17:08]。最后介绍了,所有这些线性映射的集合其实是向量空间,并进行了相关证明[0:19:30]。

    [第19课] 线性映射II

    线性映射又叫线性算子,是在两个向量空间之间保持向量加法和标量乘法运算的映射。这一段视频继续接着前面讨论线性映射,首先复习了上一讲的内容,继续讨论了对偶空间的概念。之后课上讨论了算子范数的定义和性质,并详细论证了算子范数和利普希茨连续性之间的关系。最后论证了算子范数确实是一种范数。

    [第20课] 序列空间

    这一段视频是第16讲的后半部分,开始引入序列空间的概念。课上首先解释了序列空间和积空间之间的关系。之后介绍了"最终为0"的重要子空间c_00,之后给出了重要空间l_p的定义,并在此后进一步给出l_∞和c_0空间。最后课上对这些空间进行了一些评述。

    [第21课] 序列空间II

    序列空间,也就是标量域上所有序列所构成的空间。这一讲接着上一讲继续讨论序列空间的内容,首先对上一讲的内容进行了复习。之后介绍了定理3.15,即所有赋范空间(c_0,||·||_∞)和(l_p,||·||_p)(1≤p≤∞)都是巴拿赫空间,且c_0是l_∞的闭子空间。之后是对定理的证明,课上首先证明了l_∞空间使用∞范数时的完备性,之后证明了c_0空间是l_∞空间的闭子空间。

    [第22课] 序列空间III

    序列空间,也就是标量域上所有序列所构成的空间。这一讲首先对上一讲的内容进行了复习。之后继续证明3.4节剩下的内容。首先证明的是,使用1范数的l_1空间是完备的,并在此基础上说明(l_p,||·||_p)(1≤p<∞)都是巴拿赫空间,且证明方法类似。之后证明了c_00在使用1范数的l_1空间中是稠密的。证明完这些之后,序列空间这一节就此结束。

    [第23课] 同构

    这一段视频利用第18讲剩下来的几分钟时间,引入第3.5节同构方面的内容。介绍了不同空间中的不同同构类型[0:00:10]。给出了向量空间之间同构的定义(定义3.16)[0:01:12]。之后讨论了赋范空间设定下同构的概念[0:05:00],并介绍了巴拿赫空间的情况。

    [第24课] 同构II

    这一讲继续上一讲讨论同构,首先对上一讲的内容进行了复习,并进一步阐述了同构的一些性质[0:00:10]。之后讲解了等距同构映射和线性同胚映射之间的异同之处,并举出了一个是线性同胚映射但不是等距同构映射的例子[0:08:22]。之后给出了一个很特别的等距同构例子,即(R2,||·||_1)等距同构于(R2,||·||_∞)[0:13:03]。最后以一些评述结束了同构这一节[0:21:19]。

    [第25课] 弱*拓扑和巴拿赫-阿劳格鲁定理

    这一讲开始了新一章的内容,即弱*拓扑和巴拿赫-阿劳格鲁定理。课上首先介绍了弱*拓扑的概念及性质,对于赋范空间的对偶空间E*而言,弱*拓扑是让E*到标量域中所有函数都连续的最弱拓扑[0:00:10]。之后引入巴拿赫-阿劳格鲁定理这部分,证明了引理4.2(标量域F的E次方,其子集紧致当且仅当该子集在F^E中是闭且逐点有界的)[0:23:15]。最后证明了巴拿赫-阿劳格鲁定理(赋范空间E的对偶空间E*中,单位闭球是弱*紧致的)[0:36:19]。

    [第26课] 开映射及其应用

    这一讲开始新一章的内容,即第五章,考虑开映射及其应用。课上首先介绍了开映射的概念[0:02:00],如果X和Y是巴拿赫空间,A : X → Y是一个满射的连续线性算子,那么A就是一个开映射(也就是说,如果U是X内的开集,那么A(U)在Y内是开的)。之后引入了开映射引理的概念[0:08:54],开映射引理可以说是用来证明开映射定理的一个引理,是本课程导师特别独立出来的,因为它本身具有重要应用。之后课上大部分时间用来证明开映射引理[0:14:04]。

    [第27课] 开映射引理

    这一讲首先复习了上一讲关于开映射的内容[0:00:00]。之后讲解开映射引理的相关应用,首先用开映射引理证明了一个推论(E为巴拿赫空间,F为E的线性闭子空间,那么E/F使用商范数是完备的)[0:07:44]。之后简单证明了乌雷松引理[0:17:54]。并引入了蒂策延拓定理的讨论,由于时间关系,课上只给出了蒂策延拓定理的证明思路[0:25:18]。最后,课上开始了第五章最重要的内容,开映射定理相关一节的讨论[0:31:55]。

    [第28课] 关于0对称的凸集

    这一段视频由于录制问题,只有2分钟,内容是回顾上一讲的关于0对称的凸集。

    [第29课] 开映射定理证明

    这一讲接着上一讲,讨论关于0对称的凸集[0:00:00]。之后给出了开映射定理(如果巴拿赫空间之间的连续线性算子是满射的,那么它就是一个开映射),并对其进行了证明[0:07:08]。之后给出了巴拿赫同构定理(巴拿赫空间之间每个连续线性同构映射,自动具有连续的逆映射)并给出了简短证明[0:23:00]。之后给学生出了一些练习,并讲了关于商空间的推论5.11。这一讲最后引入了闭图像定理[0:31:00]。

    [第30课] 闭图像定理的证明

    这一段视频主要是证明闭图像定理,闭图像定理也就是:设X和Y是两个巴拿赫空间,T:X→Y为线性算子, T是连续的当且仅当T具有闭图像。闭图像定理可以从开映射定理推导出来。课上首先对上一讲关于闭图像定理的内容进行了复习[0:00:00]。之后的内容就是对闭图像定理进行证明[0:07:09]。最后对证明过程进行了简单点评[0:15:40]。

    [第31课] 一致有界性原理

    这一段视频是对一致有界性原理这一章的简要讨论。一致有界性原理也就是:设X为巴拿赫空间、Y为赋范空间,假设F是从X到Y的所有连续线性算子的集合,如果对于所有x∈X有||T(x)||在T∈F中的上确界<∞,那么就有||T||在在T∈F中的上确界<∞。课上首先对这个定理进行了解释[0:01:00]。之后证明了一致有界性原理[0:06:49]。之后讲解并证明了巴拿赫-斯坦豪斯推论[0:15:48]。

    [第32课] 交换巴拿赫代数

    这一讲是关于交换巴拿赫代数的全新一章内容。课上首先介绍了赋范代数和巴拿赫代数的概念[0:00:00]。赋范代数是泛函分析的一个重要分支,研究带有乘法的赋范线性空间的性质及其应用。而巴拿赫代数则是研究带有乘法的巴拿赫空间的性质及其应用。之后课上讲到了复代数、具有单位元素、可交换性等概念[0:06:55]。之后讲了一些相关例子[0:16:07]。然后是一致代数、巴拿赫函数代数等概念及相关内容[0:20:20]。课的最后引入特征和特征空间这一节,并介绍了逆元素的概念[0:42:42]。

    [第33课] 交换巴拿赫代数II

    这一讲是交换巴拿赫代数这一章的第二讲。课上首先对前一讲的内容进行了复习[0:00:00]。之后开始进一步讨论特征和特征空间的概念,并证明了定理2.2(关于1-x的逆元素的级数展开)[0:03:00]。之后介绍了特征的定义、特征空间的概念及相关性质,特征也就是非零乘法线性泛函[0:11:20]。之后证明了定理2.4(巴拿赫代数上的特征总是连续的)[0:18:45]。课上还介绍了盖尔范德拓扑、盖尔范德变换等概念[0:32:50]。最后引入了新一节,即半单交换单位性巴拿赫代数的讨论[0:36:14]。

    [第34课] 讨论课:测度论

    这一讲是一堂讨论课,主要用于回答学生关于下发的测度论材料所提出的问题。首先学生问到了一个关于σ代数的问题,老师对这个题进行了解答[0:01:31]。之后老师解答了一个关于康托尔集的问题,并讲到了这同三进制小数展开的关系[0:17:21]。之后解答了空集的上确界和下确界问题[0:35:35]。最后讲到了博雷尔集的相关问题[0:40:26]。

    英国诺丁汉大学公开课:泛函分析

    学校:英国诺丁汉大学

    讲师:Joel Feinstein

    集数:34

    授课语言:英文

    类型:数学,国际名校公开课

    课程简介:泛函分析结合了线性代数和度量拓扑,对微分方程中的问题进行有效阐释,并解决无限多维空间中的函数。课程内容包括:范数拓扑和拓扑同构、算子的有界性、密实度和有限维度、序列空间和对偶、巴拿赫代数等。

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