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    简介:

    [第1课] 预备知识

    本课是课程的第一课,大概介绍了一下课程的总体情况,介绍了课程的几个助教,课程的网页,如何发邮件提问,教学大纲,阅读材料,作业和考试,学习建议和课程切入点,以及分析和合成这两个概念的含义。接着教授从傅里叶级数开始分析周期性现象,通过圆环上的热量分布问题来解释周期性现象的意义。时间和空间上的周期性这两个概念有时不同,有时是可以相通,比如波动现象。频率和波长的概念及两者之间的反比例关系。最后教授引入正弦和余弦来建模周期性现象。

    [第2课] 周期性,三角函数表示复杂函数

    本节课对周期性函数进行了严格的数学分析,得出了傅里叶级数的表达式。以回答周期性的普遍性为线索。首先讲了函数的周期化的方法,用正余弦函数来建模周期函数,然后将几个周期函数组合起来,分析了“一个周期 包含多个频率分量”的概念,进而用复指数来表示函数,并且讲了复数系数的求解过程。

    [第3课] 复习,将一般周期函数表示为简单周期函数和

    傅里叶变换及应用第三课首先给出了傅里叶系数的表达式,然后教授通过两个例子来说明是否可以用傅里叶系数来表示出原来的函数。第一个例子是周期为1的开关函数,第二个例子是三角波函数。通过两个例子,我们可以得到的结论是:如果函数有不连续或者不平滑的地方,那么它就不能用有限项傅里叶系数的和来表示。教授对收敛性的问题做了一个总结,即函数连续(平滑),那么级数收敛;函数有跳变的不连续时,会在跳变点收敛于它的平均值。最后讨论了更一般的收敛情况,而不是某一特定的时刻。

    [第4课] 傅里叶级数

    本课有两个内容,一是结束关于傅里叶级数方面的讨论:教授先回顾了一下上节课讲解的收敛性问题,接着,把收敛的条件进行扩展:只要是均方收敛的函数,那么一定可以写成傅里叶级数的形式。其中穿插了一些积分的概念(黎曼积分与勒贝格积分)。接下来教授通过类比的方法讲解了如何定义函数的内积、正交性和模,并引出瑞利等式的定义。二是傅里叶变换在热流上的一个典型的应用,历史上非常有名,它导致了傅里叶变换迅速的发展。

    [第5课] 傅里叶级数连续性讨论,热方程

    这节课首先讲解了上次课没讲完的热方程的问题(其中涉及到格林函数的概念)。接着通过傅里叶级数引出傅里叶变换的概念,即将非周期性现象看成是周期现象的极限来考虑问题。同时,教授还讲了如何画出一个函数的频谱图,并从频谱间隔逐渐变小,即周期趋于无穷的角度上(最后频谱变成连续的),从周期过渡到非周期。此外还说了一下使周期趋于无穷时遇到的一个小问题。

    [第6课] 热方程讨论

    本课接着上次的内容讲述了如何用傅里叶级数取极限的方式得到傅里叶变换,然后给出傅里叶变换的正式定义。其中还提到了频谱和傅里叶反变换的概念。后半部分教授讲解了傅里叶变换和傅里叶反变换之间的转换关系。最后教授通过几个具体的例子(矩形函数、三角函数)来讲解傅里叶变换运算中一些常用的方法。

    [第7课] 傅里叶正(反)变换复习

    本课首先复习了傅里叶变换及其逆变换的定义,其中还讲到了对于傅里叶变换人们使用的不同符号的表示方法;接着复习了上次讲到的两个函数(矩形函数,三角形函数)的傅里叶变换。然后教授讲解了高斯函数的傅里叶变换(变换为其本身),由此引出一些傅里叶变换的基本性质(对偶性),可以用它们从一些函数的变换得到另一些变换,而不是仅仅通过定义式来计算。最后教授讲了一个具体的小例子来说明上述的理论。 亮点: 教授说到:傅立叶转换,是一种精神。Fourier Transfrom is kind of a spirit.

    [第8课] 时延性,尺度变化,卷积

    本课继续学习傅里叶变换的基本性质,即如何对函数的组合进行傅里叶变换。有三个主要问题。第一是傅里叶变换的时延性质;第二是时域定位尺度变换(这个问题中还讲解了高斯函数);第三是卷积运算。教授依次讲解这三个问题并进行公式推导,并进行一些直观上的解释。

    [第9课] 继续卷积的讨论

    本课继续学习有关卷积的内容。首先教授带大家回顾了一下卷积的定义和公式,然后举了一个滤波的例子来说明卷积的应用。接着就上面那个例子讲解了滤波的概念,并介绍了一些常见的滤波器(低通,高通,带通),同时给出了一些计算卷积的建议并举了几个例子来说明。课程的最后教授又补充了卷积在另一个领域(热方程)的重要的应用(同时提及了一些傅里叶变换的性质)。

    [第10课] 卷积与中心极限定理

    傅里叶变换第10课是有关卷积的最后一堂课,讨论卷积在中心极限定理中的应用。首先讲到了概率密度函数、中心极限定理的内容以及一些不太严密但很能说明问题的例证。接下来,教授通过使用卷积来说明,在已知两个相互独立的随机变量分布的情况下,他们的和是如何分布的。将这个例子继续到极限的情况,也就间接地证明了中心极限定理的内容。

    [第11课] 纠错,一些补充

    傅里叶变换及应用第11课教授首先纠正了一下第十课的结尾讲错的关于中心极限定理的一个小地方,改正了一个公式。然后这节课的主要内容是把前面的内容不严谨的部分补充一些定义。包括积分的收敛性问题,对于变换的基础理论的重新定义,Parseval等式,速降函数等等。

    [第12课] 速降函数,分布

    傅里叶变换第12课首先复习了一下上节课有关速降函数的内容。这节课的内容是试图去解决上节课不能解决的问题,并引入了δ函数:定义、如何得到以及性质。然后忽略用积分求得的关于δ函数的性质,把它当成一个定义来用,并引出广义函数(分布)的概念,这样就可以处理一系列经典理论中无法处理的问题。

    [第13课] 分布的傅里叶变换的建立

    首先复习了上一节课有关分布的内容。接下来教授将傅里叶变换引入,讲解分布的傅里叶变换有关的知识:定义和例子。就是说,将分布的傅里叶变换作为一个泛函作用于测试函数。接着教授利用上一节课讲的性质证明了一个这门学科的非常重要的定理。最后通过使用这个定理来进行一些傅里叶变换的计算。

    [第14课] 分布的傅里叶变换的性质

    首先推导出了一个重要的性质:<T',φ>=<T,φ'>,然后使用这个性质讲解了符号函数sgn(x)的定义,性质等等。接着将这些内容应用到傅里叶变换上,可以得出符号函数和单位阶跃函数的傅里叶变换。接着教授讲解了分布中有关乘法和卷积的运算问题。最后讲解了有关δ函数的一些性质。

    [第15课] 傅里叶变换在衍射上的应用

    主要讲解的是傅里叶变换在光的衍射中的一个重要应用。衍射现象就是光通过一个小孔以后在后面的光屏上产生衍射条纹的现象。接着教授说明了需要分析的问题是什么样子的(其中涉及到了一些物理原理和数学计算),然后通过一系列化简运算,得到电场在光屏处的表达式,最后可以发现这个表达式是一个傅里叶反变换的形式。最后教授讲解了三个具体的例子。

    播放中

    [第16课]继续上次内容,晶体成像

    接着上一课的内容,接着讲解有关衍射的问题,具体来说是晶体成像的问题。教授首先花了一些时间回顾了上节课的内容,然后说明了晶体的排列形式及其电子密度的数学表示,求其傅里叶变换就可以得到晶体的衍射条纹。

    [第17课] Ш函数

    主要的内容是抽样和插值。教授首先带大家回顾了一下上一节课有关Ш函数的内容,顺便为内插的问题做了一些准备工作,建立了问题。接下来讲述了一下如何进行插值的问题。通过规定函数的最高频限,就可以通过采样的有限个点还原出原函数。最后教授详细推导了采样定理。

    [第18课] 采样定理

    主要内容是抽样定理。教授先介绍了抽样定理的概念,以及如何用抽样定理得到的抽样值精确地恢复出原函数。接着讲解了信号不能同时在时域和频域受限的事实,以及这个理论与现实的冲突如何解决。最后教授讲解了抽样频率小于带宽,发生频率混叠的情况。最后教授讲解了一个有关混叠的例子。

    [第19课] 采样定理在音乐上的应用

    傅里叶变换第19课首先是一个关于采样定理的例子,利用的是一段音乐。接着教授讲到如何从连续的傅里叶变换过渡到离散的形式,即离散傅里叶变换(DFT)。先由一个采样定理的误用出发,但最后推出了一个有用的结果。用离散的近似逼近连续的情况。

    [第20课] 离散傅里叶变换的定义

    傅里叶变换第20课继续讲解离散傅里叶变换,首先教授带大家回顾了一下连续傅里叶变换的情况以及DFT的定义式。并做了一个变量代换使之与连续的情况看起来更加相似。接下来教授讲解了一些离散和连续情况的不同之处。接着教授提到了离散复指数的正交性问题。

    [第21课] 离散傅里叶变换的矩阵定义,一些性质

    傅里叶变换第21课继续讲解有关DFT的知识。首先教授带着大家回顾了一下DFT正变换和反变换的定义式。接着教授针对几个特殊的信号具体使用了DFT进行讲解。接着教授带着大家从一个稍微不同的角度更深入地理解了DFT。最后教授讲解了一些DFT的基本性质。

    [第22课] 快速傅里叶变换

    傅里叶变换22课主要介绍了一种快速计算离散傅里叶变换的方法,即快速傅里叶变换(FFT),他可以大大节省运算量。教授详细推导了FFT的公式,并讲解了其中需要注意的一些事项。

    [第23课] 线性时不变系统的基本定义

    傅里叶变换第23课主要内容是线性时不变系统,教授试图将其与傅里叶变换联系起来。首先讲解了线性系统的定义,接着教授讲解了一些线性系统的例子和模型。接着讲线性的定义一般化由矩阵的乘法来表示。然后教授讲到了一些特殊的线性系统的例子。接下来教授讲解了特征向量和特征值的定义。然后教授把这些性质从有限维度推广到了无限维度。

    [第24课] 级联,脉冲响应

    本课教授先带着大家回顾了一下上节课的内容,然后讲到了级联线性系统的定义,线性系统的脉冲响应,Schwartz核函数定理,傅里叶变换的脉冲响应,离散与连续线性系统的类比等内容。然后教授讲到了一个有关卷积的特殊情况,并对一些旧的性质在线性系统中重新解释。

    [第25课] 线性系统,传递函数,特征值

    傅里叶变换25课首先复习了上节课线性时不变系统的概念,它由卷积给出,并顺带提了一下这个说法在离散线性系统中也是正确的。接下来教授讨论了线性时不变系统的傅里叶变换,特征函数等内容。最后教授把之前讨论的内容扩展到了离散的情况下。

    [第26课] 高维傅立叶变换的推导

    傅里叶变换第二十六课主要介绍了高维傅里叶变换的概念,教授从一维傅里叶变换讲起,告诉大家如何把一维的傅里叶变换类比到二维甚至高维的傅里叶变换上。并讲解了二维傅里叶变换的两种形式和高维傅里叶的逆变换。最后教授讲解了如何将高维傅里叶变换的复指数形象地表示出来。

    [第27课] 高维傅立叶变换,复习

    傅立叶变换27课继续讲解了高维傅立叶变换的内容。教授首先带大家回顾了一下高维傅立叶变换的定义,然后讲解了一些可以通过分离变量,通过计算一系列一维傅立叶变换,从而算出高维傅里叶变换的例子。最后教授讲解了一些卷积的操作,为下一课做了一些铺垫。

    [第28课] 高维移位定理

    傅里叶变换第28课继续讲解多维傅里叶变换的性质,主要讲解了两个性质,第一个是移位性质,第二个是缩放定理。除此之外,还针对δ函数讲解了一点特殊的情况。

    [第29课] 高维Ш函数修改版

    傅里叶变换第29课主要讲解了Ш函数在高维上的定义,高维Ш函数的傅里叶变换,晶体学中有关晶格方面的知识,以及高维傅里叶变换在医学影像上的一个应用的预备知识(即拉东变换)。

    [第30课] 拉东变换,反变换,课程总结

    傅里叶变换第30课继续讲解了多维傅里叶变换在医学图像领域的应用,讲解了拉东变换以及反变换的内容。

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